В.Е.Шмелев "Заметки по использованию системы FEMLAB" \ \ Моделирование наведения вихревых токов в металлической пластине от круглой катушки без применения физического прикладного режима. Изменяющийся во времени ток является источником переменного магнитного поля. Это поле наводит токи в соседних проводниках. Индуцированные токи называются вихревыми токами. В представленной здесь модели, это явление иллюстрировано моделированием гармонического электромагнитного поля (ЭМП), а также анализом переходных процессов, где рассчитаны и показаны вихревые токи, наведённые включенным источником. Две катушки с током помещены выше медной пластины. Они окружены воздушным путем, имеется малый воздушный зазор между катушками и металлической пластиной. Внешний источник задаётся как плотность тока, но полная плотность тока в катушках задана с учётом индуцированных токов. В случае гармонически изменяющегося во времени поля в модели рассчитан и показан поверхностный эффект, при котором плотность тока уменьшается быстро при удалении от поверхности внутри проводника. В результате расчёта поля могут быть вычислены силы, действующие на пластину при наведении в ней вихревых токов. На проводники с токами в магнитном поле действуют силы Ампера. Объёмная плотность силы определяется выражением , где Jп - вектор полной плотности тока в точке наблюдения, B - вектор магнитной индукции. Гармонически изменяющиеся ЭМП можно моделировать в комплексной форме, т.е. уравнения записывать относительно комплексных амплитудных или комплексных действующих значений векторов и потенциалов ЭМП. В этом случае распределение плотности силы в пространстве и времени можно описать выражением , где индексы r, , z соответствуют компонентам векторов в цилиндрических координатах; Q - точка наблюдения в пространстве с координатами r, , z; - угловая компонента комплексной амплитуды плотности тока; - радиальная компонента комплексной амплитуды магнитной индукции. При отсутствии потенциальной составляющей электрического поля индуцированная составляющая плотности тока может быть выражена через векторный магнитный потенциал следующим образом: , где - удельная электрическая проводимость вещества. Для определения силы взаимодействия катушки с пластиной нужно рассчитать распределение векторов ЭМП в системе. Вычислительная модель базируется на законах теории ЭМП и уравнении материальной связи между векторами B и H: , где H - вектор напряжённости магнитного поля, связанный с магнитной индукцией уравнением материальной связи: , где Br - вектор остаточной магнитной индукции постоянных магнитов, Mr - вектор остаточной намагниченности вещества, , Гн/м - абсолютная магнитная проницаемость вакуума, - абсолютная магнитная проницаемость вещества, - относительная магнитная проницаемость вещества, - удельное магнитное сопротивление вещества, - относительное удельное магнитное сопротивление вещества. В общем случае магнитные свойства вещества могут быть анизотропными, тогда магнитная проницаемость будет тензорной величиной второй валентности. В осесимметричном поле в цилиндрических координатах связь между магнитной индукцией и векторным потенциалом определяется выражением где - новая введённая зависимая переменная FEMLAB-модели. Теперь выразим вектор напряжённости магнитного поля через зависимую переменную u: , откуда , , где - матрица компонентов удельного магнитного сопротивления в цилиндрической системе координат. Ротор напряжённости магнитного поля выражается через введённую зависимую переменную следующим образом: где - тензорный коэффициент, эквивалентирующий тензор удельного магнитного сопротивления при записи PDE в стандартной коэффициентной форме FEMLAB, - сопряжённый тензор относительной магнитной проницаемости материалов постоянных магнитов. Как известно, полная плотность тока равна сумме сторонней и индуцированной составляющих: . Для постпроцессорной обработки результатов моделирования введём ещё одну зависимую переменную, равную угловой составляющей напряжённости электрического поля: . С учётом всего сказанного, система PDE в цилиндрических координатах, моделирующая наведение вихревых токов в проводящей пластине в пространственно-временной форме имеет следующий вид: Пространственно-частотная форма PDE получается из пространственно-временной путём замены операции дифференцирования по времени операцией умножения на . В этом случае зависимая переменная u2 для постпроцессорной обработки не потребуется. При пространственно-частотном моделировании остаточную намагниченность вещества задавать нельзя, т.к. она не может изменяться во времени по гармоническому закону. Сначала проведём расчёт установившегося режима работы системы пространственно-частотным методом, затем рассчитаем переходные процессы при включении и выключении токовой обмотки. Пространственно-частотное моделирование в системе FEMLAB 3.0 Навигатором моделей выбираем прикладной режим 2D/ PDE Modes/ PDE, Coefficient Form/ Stationary analysis. Чтобы имена цилиндрических координат были не x и y, а r и z, выполним следующие действия: нажмём кнопку Multiphysics, затем Add Geometry. Развернётся диалоговое окно Add Geometry. В строку редактирования Independent variables вместо x y z впишем r z fi. Нажатие кнопки OK приведёт к созданию в модели геометрии с именем Geom1. Нажатие кнопки Add Навигатора приведёт к добавлению в созданную геометрию выбранного прикладного режима. Теперь кнопкой OK закроем Навигатор моделей. Когда развернётся окно графического интерфейса системы FEMLAB, командой меню Options/ Axes/Grid Settings установим следующие параметры режима отображения осей координат: r min = 0; r max = 0.1; z min = -0.05; z max = 0.05, предполагая, что длина измеряется в метрах. В командном окне MATLAB создадим геометрические объекты, выполняя следующие операторы: C1=circ1(0.0025,'Pos',[0.0125 0.0025]); C2=move(C1,[0.007 0]); R1=rect2(0.1,0.1,'Pos',[0 -0.05]); R2=rect1(0.08,-0.019,'Pos',[0 -0.001]); Здесь окружности C1, C2 моделируют две последовательно соединённые секции возбуждающей токовой обмотки. R1 - прямоугольник, покрывающий всю расчётную область. Прямоугольник R2 моделирует проводящую пластину, в которой наводятся вихревые токи. В окне FEMLAB выполним команду меню File/ Import/ Geometry Objects. По этой команде развернётся диалоговое окно Import Geometry Objects. В строку редактирования этого окна введём: C1 C2 R1 R2 Нажатие кнопки OK приведёт к внедрению перечисленных геометрических объектов в приложение FEMLAB и отображению их в поле axes (рис.1). Рис. 1. Геометрия расчётной области Для перехода в режим показа зон расчётной области нажмём кнопку главной инструментальной панели. Чтобы были видны номера зон, выполним команду Options/ Labels/ Show Subdomain Labels. В результате в поле axes получим изображение, показанное на рис.2. Как видно, зоны 3, 4 - секции обмотки, 2 - проводящая пластина, 1 - воздух. Рис. 2. Зоны расчётной области Рис. 3. Константы FEMLAB-модели, вписанные в диалоговое окно Теперь нужно задать источники ЭМП и параметры материальных свойств. Для удобства создадим три константы и одну переменную связи интегрирующего типа. Выполним команду меню Options/ Constants. Развернётся диалоговое окно Constants. Впишем туда имена констант и определяющие выражения в соответствии с рис. 3. mu0 - абсолютная магнитная проницаемость вакуума, Гн/м, I - ток (а точнее - комплексная амплитуда намагничивающей силы) в обмотке, А, sig - удельная электрическая
Комментариев нет:
Отправить комментарий